Bien à vous est une formule de politesse qui ne s’emploie qu’à l’écrit. On y retrouve l’adverbe bien, que l’on peut rapprocher du mot tout : bien à vous est équivalent de tout à vous.

Apparu aux XVIII^e-XIX^e siècles en France, bien à vous est utilisé à la fin d’une lettre, pour dire qu’on est là pour la personne, qu’on est à son service. Le sens est donc proche de la formule je reste à votre disposition.

Il semblerait que cette formule soit un calque de la formule anglaise truly yours ou sincerely yours, qui date de la deuxième moitié du XVIII^e siècle.

De nos jours, on retrouve bien à vous le plus souvent à la fin d’un courriel car cette formule a l’avantage d’être courte, simple et moins lourde que les formules de politesse traditionnelles, qu’on emploie sur les courriers papier (je vous prie d’agréer…).